El Ayuntamiento de un pueblo quiere asfaltar una plaza circular que tiene en el centro una fuente, también circular, para celebrar allí conciertos de música a lo largo del año.
Al redactar el pliego de condiciones, el Consistorio necesita saber la superficie a asfaltar, que es la del anillo circular comprendido desde donde acaba la fuente y hasta el perímetro de la plaza, para así poder fijar el precio de licitación de la subasta. Al consultar con un aparejador para que haga el estudio, éste señala que cobra un importe por cada medición que haga entre cada dos puntos. Como el Ayuntamiento está recortando gastos, pretende que esa partida sea lo más económica posible.
Y el desafío de esta semana es: ¿Cuál sería el menor número de mediciones, consideradas entre cada dos puntos, que serían necesarias para calcular el área de ese anillo circular?, ¿a qué se correspondería o corresponderían esa o esas distancias? y ¿cómo se hallaría la superficie del anillo en base a ese o esos datos?
Un problema bonito aunque demasiado sencillo. Es un problema que hace muchos años planteó Martin Gardner.
Midiendo los dos radios o diámetros es demasiado simple, por tanto tiene que haber una solución con una sola medida. y la única manera es implicar a la circunferencia interior y exterior.
Solo es necesario una medida que se haría según el dibujo adjunto desde un punto cualquiera de la circunferencia externa, tangente a la circunferencia interna, al punto que corresponda de nuevo a la circunferencia externa.
Llamando R al radio de la circunferencia externa, r al radio de la circunferencia interna y D a la distancia medida. Utilizamos m = D/2 para hacer la demostración escrita más simple.
Tenemos que R, r y m forman un triángulo rectángulo. Por Pitágoras, R ^2 = r ^2 + m ^2
El área pedida será la de la circunferencia exterior menos la interior.
O sea, pi * R ^2 - pi * r ^2
Sustituyendo nos queda que el área es pi * m ^ 2
O sea es independiente de los valores R y r
m es la mitad de la distancia medida. Es decir el área sería el de una circunferencia cuyo diámetro fuera la medida calculada.
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