El desafío de esta semana trata de operaciones con números muy grandes. Concretamente, vamos a tomar un número N que, escrito en base 10, tenga 100 cifras. El primero de sus 100 dígitos no puede ser 0, por lo demás no hay ninguna restricción.
A continuación separamos N en dos números: el formado por las 50 primeras cifras, que llamaremos A; y el formado por las 50 últimas cifras, que llamaremos B.
El desafío consiste en identificar todos los números N para los que se cumple que N=3AB. Como ejemplo, si en vez de trabajar con un número inicial de 100 cifras, lo hiciéramos con uno de dos, valdría el 24, ya que 24=3x2x4. En este caso, sería fácil hacer la comprobación en todos los números de dos cifras (entre el 10 y el 99) y descubriríamos que solo el 24 y el 15 cumplen la condición que se exige. Sin embargo, en el problema que planteamos la comprobación de todos los números no podría hacerse, ni siquiera por ordenador, en el plazo requerido. Es necesario, por tanto, un razonamiento matemático.
Así, la solución que nos enviéis tiene que contener dos cosas. La primera es una relación de los números N que cumplan la igualdad anterior (N=3AB), si es que hay alguno, y no hace falta que nos digáis cómo los habéis obtenido. La segunda es un razonamiento que demuestre que no hay más soluciones que las que nos mandáis, es decir, que esos son todos los números de cien cifras que cumplen la igualdad.
A continuación separamos N en dos números: el formado por las 50 primeras cifras, que llamaremos A; y el formado por las 50 últimas cifras, que llamaremos B.
El desafío consiste en identificar todos los números N para los que se cumple que N=3AB. Como ejemplo, si en vez de trabajar con un número inicial de 100 cifras, lo hiciéramos con uno de dos, valdría el 24, ya que 24=3x2x4. En este caso, sería fácil hacer la comprobación en todos los números de dos cifras (entre el 10 y el 99) y descubriríamos que solo el 24 y el 15 cumplen la condición que se exige. Sin embargo, en el problema que planteamos la comprobación de todos los números no podría hacerse, ni siquiera por ordenador, en el plazo requerido. Es necesario, por tanto, un razonamiento matemático.
Así, la solución que nos enviéis tiene que contener dos cosas. La primera es una relación de los números N que cumplan la igualdad anterior (N=3AB), si es que hay alguno, y no hace falta que nos digáis cómo los habéis obtenido. La segunda es un razonamiento que demuestre que no hay más soluciones que las que nos mandáis, es decir, que esos son todos los números de cien cifras que cumplen la igualdad.
Llamamos A a la mitad de la izquierda que queremos encontrar y B a la mitad derecha. cada uno se compone de 50 cifras, Siendo la primera de A distinta de cero lo cual indica que es un número muy grande. Las ecuaciones son:
AB (yuxtaposición de cifras) = A * 10^50 + B = 3 * A * B
De ahí llegamos a:
B = A * 10 ^50 / (3* A -1) Como hemos dicho que A es muy grande 3*A -1 aproximadamente = 3* A. Luego B = 10 ^50 / 3. Y el error es inferior a la unidad. Luego sale que B = 333333..................3333 que sería el valor menor entero siendo 333333......33334 el valor superior, que es en realidad el resultado del problema puesto que B ha de ser algo superior a 3333333.....3333.333333333
Si hacemos el problema para n cifras tenemos que sale fácílmente:
4 cifras
A=17 B=346 cifras
A=167 B=334
8 cifras
A=1667 B=3334
10 cifras
A=16667 B=33334
12 cifras
A=166667 B=333334
14 cifras
A=1666667 B=3333334
Y así sucesivamente. Vemos que A es la mitad que B, luego A = 1666666.................6666667
Es decir A es 1 con 48 seises y un 7.
B es 49 treses y un cuatro.
La solución es única pues B queda perfectamente determinado y A solo puede cumplir ese enunciado con el valor propuesto ya que es una ecuación lineal y solo puede tener una solución.
