Vistas de página en total

lunes, 26 de agosto de 2013

El profesor de probabilidad y combinatoria

Érase una vez  un profesor de matemáticas que tenía la convicción de que todos los alumnos de su clase debían ser suspendidos pero su generosidad le obligó a darles una pequeña oportunidad de que aprobaran y además sería a todos en su conjunto.

Para ello les propuso el siguiente juego:
Los cuarenta alumnos tendrían un número asignado del 1 al 40 e irían pasando uno a uno por su despacho donde en una mesa tendría cuarenta cartulinas con los cuarenta números escritos boca a abajo. Cada alumno podría ver el número que estaba escrito en 20 cartulinas y si una de ellas coincidía con el suyo habría superado la prueba. Para aprobar, todos tendrían que haber encontrado su número en los 20 intentos.
Antes de empezar la prueba los alumnos se reúnen y pueden decidir una estrategia, pero una vez comenzada la prueba no se pueden comunicar entre ellos ni pueden modificar la disposición de las cartulinas que como he dicho se encuentran boca a abajo, por ejemplo en un rectángulo de 4 filas de 10 números.

¿Cuál es la mejor estrategia que pueden seguir los alumnos?
¿Qué probabilidad tienen de aprobar con esa estrategia?

16 comentarios:

  1. A ver... con una estrategia sencillota, del tipo: la mitad de los alumnos levantan las primeras 20 cartulinas y la otra mitad las otras 20 (obviamente, si todos levantan las mismas 20 cartulinas, la probabilidad es 0, ya que 20 de ellos acertarán seguro y los otros 20 fallarán seguro), la probabilidad de cada evento individual es del 50%. La probabilidad de que todos encuentren su número sería, por tanto: 0.5 * 0.5 * .... 0.5 así hasta 40, es decir (0.5)^40, osea, probabilidad ridícula (9.094e-13) de aprobar. No veo que otras estrategias distintas mejoren esta probabilidad, ya que no se pueden comunicar una vez han comenzado, por lo que no se puede mejorar el 0.5 de probabilidad de los eventos individuales. Así que diría que la respuesta es esa: 9E-13. ¿Acerté?

    ResponderEliminar
  2. No entiendo tu razonamiento de las 4 primeras líneas. Las cartulinas tienen el número escrito en la cara pegada a la mesa y no se ve. Las cartulinas se han puesto de forma aleatoria sobre la mesa, no están ordenadas.
    Estoy de acuerdo en que eligiendo aleatoriamente las 20 cartulinas da lugar a esa probabilidad tan ridícula de que aprueben.
    No has acertado pero tienes la oportunidad de pensar más en otra posibilidad de estrategia y ganarte la gloria que yo no conseguí pues leí directamente la solución.
    ¡Ánimo!

    ResponderEliminar
    Respuestas
    1. A ver... si las cartulinas están ordenadas de forma aleatoria y una vez comenzada la prueba no se pueden comunicar entre ellos no hay forma de aumentar la probabilidad de los eventos individuales. Cualquier estrategia que decidan no podrá aumentar la probabilidad de 0.5, aunque algunas "estrategias" sí que podrían reducirla. A eso me refería en las 4 primeras líneas: si su estrategia fuera que todos miran las primeras 20 cartulinas ya sabemos que van a suspender seguro ya que 20 de ellos van a fallar, ya que nadie miraría las otras 20 cartulinas. Por más vueltas que le doy, sin comunicarse entre ellos no veo estrategia que aumente la probabilidad de aprobar, ni mucho menos que la aumente de forma significativa. Está claro además que es totalmente imposible subir del 50% ya que el primer evento no pasa de esa probabilidad. Incluso aunque se pudieran comunicar, en cuyo caso la probabilidad sería exactamente del 50% (el primero mira 20 cartulinas y tiene un 50% de acertar la suya, además le puede decir a los demás esos 20 números, con lo cual cada uno tendría ya un 100% de probabilidad de acertar la suya, que bien estaría entre esas 20 o entre las otras 20). Repito: sin poderse comunicar, ni poder dejar las cartulinas boca arriba, ni poderlas cambiar de sitio / reordenar, etc. no hay forma de que aporten información alguna al siguiente que aumente su probabilidad del 50%. Ninguna estrategia de esquema de elección de cartulinas pre-acordado puede cambiar el hecho de que están colocadas aleatoriamente. Tiene que haber un truco en el enunciado, como una forma "inteligente" de que se pasen información sin hablar pero eso sería "comunicación", y el enunciado prohibe la comunicación, no prohibe que "hablen". Así que la respuesta, para mí, es 9E-13. Tampoco pueden dejar las cartulinas boca arriba, ni copiar su contenido y pasárselo, ni nada... Seguro que es una tontería y hay algo que se me pasa, pero no lo veo.

      Eliminar
    2. Este comentario ha sido eliminado por el autor.

      Eliminar
  3. No hay truco en el enunciado y además has comprendido perfectamente el problema. Este es uno de los últimos problemas de lógica aparecidos en Internet y es bastante difícil. Lo normal es que la gente no lo acierte y cuando lo hacen tardan días, así que demos tiempo al tiempo.

    ResponderEliminar
  4. Pongamos un ejemplo de como ese razonamiento de mafergut no es correcto.
    Tenemos dos alumnos con dos cartulinas, según él la probabilidad ha de ser 0.5 * 0.5 = 0.25

    Sin embargo pueden acordar antes de pasar la prueba que uno coja la primera cartulina y el otro la segunda. La probabilidad de acertar es del 50%. ¿Estamos de acuerdo?

    ResponderEliminar
    Respuestas
    1. Sí, ese planteamiento con 2 personas está claro. Pero con 40 las probabilidades si escogen de forma alterna serían, (en lugar de 0.5 para cada uno de los 40), 20/40 para el primero (0.5), 20/39 para el segundo (0.512), 19/38 para el tercero (0.5), 19/37 para el cuarto (0.513)... el 39 tendría 1/2 (0.5) y, efectivamente, el 40 tendría 1/1 (100%). Así que mi respuesta era errónea, la probabilidad sería algo más alta, pero aún así despreciable estadísticamente. La probabilidad del 38, por ejemplo, sería de 2/3 (0,66) y la del 36 sería de 3/5 (0.6). Es decir, la prob. total sería [(1/2)^20]*(20/39)*(19/37)*...*(3/5)*(2/3)*(1/1). ¿Está más cerca de la verdad?

      Eliminar
    2. Mi ejemplo es simplemente para mostrar que había más posibilidades de lo que sugerías. No es el método a seguir. Numéricamente estás muy lejos de la solución.

      Eliminar
    3. Estaba elaborando sobre tu planteamiento con 2 alumnos y 2 cartulinas simplemente para poner en evidencia que el caso extremo con 2 personas es eso, un caso extremo en el que la probabilidad de un evento es directamente dependiente de la del otro. Si eligen la misma cartulina suspenderán seguro y si eligen una cada uno la probabilidad es del 50%. Pero con 40 personas y 40 tarjetas la cosa es bien distinta porque solamente podemos mejorar de forma marginal las probabilidades gracias a la estrategia. No hay forma de que, solo con estrategia, lleguemos a un supuesto en el que la probabilidad sea siquiera remotamente cercana al 50%. Si la solución final tiene un porcentaje siquiera del 1% de probabilidad sin ninguna trampa sobre el enunciado me como la boina. ¿Y por qué esa diferencia? Porque en el caso de 2 personas y 2 tarjetas la estrategia es totalmente determinista, si mi nº está en la primera tarjeta el tuyo tiene que estar en la segunda. Mientras que en el caso con más de 2 tarjetas, si mi nº está en la primera mitad de las tarjetas eso solamente mejora marginalmente las probabilidades de que el tuyo esté en la segunda mitad, la mejora es más marginal cuantas más personas y tarjetas. Otras estrategias de dividir las tarjetas en 4 grupos y que 10 personas elijan del grupo 1 y 2, 10 personas del grupo 3 y 4, otras 10 del 1 y 3 y las otras 10 del 2 y 4 por ejemplo no aportan ninguna mejora porque cuando alguien selecciona digamos el grupo 1 y 2 y su número está entre ellos ni siquiera sabemos si estaba entre las 10 tarjetas del grupo 1 o entre las 10 del grupo 2. Así que cualquier otro intento de "reparto" de las tarjetas en grupos que no sea booleano (dos mitades) no nos ofrece ninguna mejora. Dado que no puede haber comunicación de ningún tipo una vez comenzado el experimento y dado que la estrategia solamente puede consistir en un pre-acuerdo de qué tarjetas levantará cada uno (asumo que no se pueden dejar ningún tipo de pista en el despacho del profesor porque eso sería comunicación post-inicio del experimento) no hay más vueltas que darle. Ahora mismo me apostaría algo a que, cuando me cuentes la solución, a mí al menos, me va a rechinar a retorcimiento del enunciado = truco. No obstante, vamos a suponer que sí, que existe una solución con una probabilidad digamos razonable, superior al 10% al menos. Eso supondría que, después de entrar al despacho los 3 primeros los demás ya podrían tener una probabilidad del 100% de acertar. ¿Cómo? Si el primero deja las 20 tarjetas boca arriba (no vale, es trampa). Si el primero mira las primeras 20 tarjetas y el segundo las otras 20 y ambos dejan un poco inclinadas las que tienen números impares y totalmente rectas las que tienen pares (igualmente trampa, ya que es comunicación mediante la colocación de las tarjetas). Sin artificios de este estilo, que yo consideraría trampa, es imposible mejorar significativamente la probabilidad antes de que hayan entrado un buen montón de alumnos y la haya pifiado alguno en el proceso con grandísimas probabilidades. Vamos, que me rindo.

      Eliminar
    4. Juego con ventaja porque sé la solución y es gracias a que la he leído, por tanto no has de comerte la boina. No quiero dar la solución aquí espero que alguien la encuentre. Primero te recomendaría que te dieras un plazo y después si te rindes te paso la solución por correo. No hay ningún truco y el resultado final es aproximadamente del 32%.

      Eliminar
    5. Dando por hecho que la elección del primer alumno tiene un 50%, un 32% total supondría, como mínimo un 64% para el segundo y un 100% para TODOS los demás. O un % mayor para el segundo, quizás un % menor del 100% pero progresivamente mayor para el tercero y un 100% para los siguientes. Si ninguno tiene un 100% (excepto quizás el último) estaríamos hablando de unos % altísimos para cada uno (del 90 y tantos %) para que al multiplicar los 40 factores de un 32%. Por calcular a ojo, una probabilidad de 39/40 es un 97,50%, si ponemos esta probabilidad a los 39 casos posteriores al primero (es decir (39/40)^39) tenemos un 37,25%, que multiplicado por el 50% del primero ya nos da solamente un 18,6%. Como no es lógico pensar que haya probabilidades intermedias entre 39/40 y 40/40, dado que tenemos 40 tarjetas voy a suponer entonces que la solución será más bien del primer tipo, es decir, el 1º un 50%, el segundo un 64% y todos los demás un 100% o algo muy similar a eso. ¿Cómo puede el segundo tener probabilidad igual o superior al 64%? Eso sería aprox. 25/40 o 26/40. Eso requiere que el primer evento le de una información equivalente a 5 o 6 tarjetas extra sobre las 20 que puede elegir según el enunciado. Para mí es imposible y no le voy a dedicar más tiempo. Si quieres pásame la solución por correo y si no pues nada, porque no creo que nadie lo adivine. De hecho ni siquiera creo que la solución sea válida. Será alguna paradoja del estilo de la de los 2 sobres o algo de eso.

      Eliminar
    6. ¿Cuál es la paradoja de los sobres? ¿Esa de que hay en uno el doble de dinero que en el otro, cuál elegir? Creía que esa era la paradoja del PP.

      Eliminar
    7. Si, la de los 2 sobres es esa, que en uno hay el doble que en el otro y por tanto siempre sería bueno cambiar el sobre inicialmente elegido por el otro. Si es la del PP o no hasta ahí ya no llego, jejeje. Te acabo de mandar un correo para que me pases la solución porque me reconcome la intriga ya.

      Eliminar
  5. Buff. Ahora que me has explicado la solución la verdad es que me siento un poco pardillo pero es mucho más sencillo que todas las vueltas que yo le había estado dando.

    En fin, la teoría de probabilidad nunca dejará de asombrarme. Muchas gracias por las explicaciones, Angel y a ver si nos pones más problemas... y alguno que sea más facilito.

    ResponderEliminar