Solución razonada y generalizada al cuadrado mágico multiplicativo 3X3.

En el periódico El País se está publicando cada semana un problema de matemáticas, el tercero es resolver un cuadrado mágico de multiplicaciones cuya casilla central es el número 15.

http://www.elpais.com/videos/sociedad/cuadrado/magico/productos/elpepusoc/20110401elpepusoc_1/Ves/
http://www.elpais.com/articulo/sociedad/Cuadrado/magico/productos/solucionado/elpepusoc/20110405elpepusoc_2/Tes


En lugar de partir de que la casilla central tiene el valor 15 vamos a dejarla en otra incógnita.
Tenemos tres filas: abc def y ghi. Por tanto "e" es la casilla central. Llamamos p al producto de una fila, columna o diagonal.
Multiplicamos las diagonales y la columna central = p^3
aeicegbeh = p ^ 3.
Ordenamos los factores.
abcghieee = p^3.
Pero abc es una fila = p.
Y ghi también = p
abcghi = p ^2.
Nos queda (p^2) ( e ^3) = p^3; Luego p= e ^3
Ahora nos preguntamos si e puede ser un número primo y la respuesta es no pues solo podemos formar los siguientes números diferentes: e ^0, e^1 e ^2 y e^3. Y nos hace falta 9.
Luego ha de ser compuesto, e = xy. Con x,y podemos formar los siguientes números:
x ^ (0,1,2,3) X y ^(0,1,2,3). En total 16 números diferentes, pero dado que que la casilla central es xy, y coincide con todos los demás números en alguna multiplicación ni x^3 ni y^3 nos sirven ya que el producto final tendría factor x^4 o y^4.
Luego los números han de ser x^(0,1,2) X y^(0,1,2). Total 9 y deben estar todos.
(x^0)(y^0) = 1 y como solo puede formar x^3y^3 con (xy) (x^2y^2) y con (xy^2) (x^2y) no puede estar en un vértice.
Es ya obvia la solución:

Fila 1  xy^2          1          x^2y
Fila 2  x^2           xy         y^2
Fila 3  y           x^2y^2     x



Y para xy=15 o sea x= 3 y = 5 nos sale el cuadrado descrito en la solución del periódico.

Resumen:
Se deduce fácilmente que p = e ^3. e no puede ser un número primo. 1 tiene que formar parte de la solución. 1 debe estar en medio de un lado.