Se quiere organizar una exhibición de coches de carreras de manera que al comienzo los vehículos formen un cuadrado (de n filas de coches de n coches cada una) y al final los mismos automóviles formen un rectángulo en el que el numero de filas inicial aumente en 5. ¿Puede saberse con total seguridad cuantos coches participarían en esa exhibición? En caso afirmativo, dar el número (justificando la respuesta) y en caso negativo explicar por qué no puede saberse.
http://www.elpais.com/videos/sociedad/exhibicion/coches/carreras/elpvidsoc/20110601elpepusoc_1/Ves/
Tenemos N*N = N ^ 2 coches que ahora forman N + 5 filas N - x columnas, como sigue habiendo el mismo número de coches N*N = (N+5)(N-x)
Que nos queda: N = 5x / (5-x). Como N ha de ser entero y positivo y a partir de x = 6 sale N negativo y con x = 5 infinito solo hay una solución que es x = 4.
Por tanto el número de coches es 400 al principio 20 filas y 20 columnas y después 25 filas y 16 columnas.
Una interesante propuesta es la generalización del problema calculando el números de soluciones en función de K, número de filas nuevas.
Si K es primo solo hay una respuesta. Si es la potencia de un primo su exponente es el número de respuestas.
En general los exponentes de la factorización de K producen el número de respuestas, para dos exponentes tenemos la fórmula:
2ab + a +b
por ejemplo K = 36 = 2^2 * 3 ^ 2; Para K = 36 hay 12 soluciones.
2x2x2 + 2 +2
Las soluciones son:12,18,36,45,72,108,126.180,288,396,612, 1260
Sin comprobar la fórmula parece ser para n factores:
2^n-1 (abcd...)
2^n-2 (abc + abd + acd + bcd + ...)
2^n-3 (ab + ac + ad + bc + bd + cd + ...)
..
2 ^ 0 (a + b + c + d +...)
Siendo a,b,c,d... los exponentes de los factores de K:
Es decir son las potencias de 2 multiplicando las sumas de las combinaciones de los productos de n en n, n-1 en n-1... de 1 en 1.
Bueno, como comentaba en El País, yo demostré que las soluciones posibles salen de igualar n+k con todos los divisores de k^2 mayores que k. No soy un experto en combinatoria pero el número de soluciones se puede obtener combinando los factores primos de k (repetidos hasta 2 veces, tal y como aparecen en k^2). ¿Cómo sacaste tú tus fórmulas?
ResponderEliminarEl número de soluciones del problema planteado en función de K depende de la factorización en números primos de K y de forma concreta de los exponentes de esos factores.
ResponderEliminarEmpecé con dos exponentes.
Así hice unos casos con a,b= 1,2,3,4,5 hice una tabla con los resultados y deduje que la solución era: a ( 2b +1 ) + b.
Que es 2ab + a + b.
Para 3 exponentes la fórmula salía:
4abc + 2 ( ab + ac + bc) + a + b +c
Probé varios casos y funcionó.
He probado también el caso que aparece en los comentarios en El País (de cuatro exponentes) de 25200 que es (2 ^ 4) (3 ^ 2) (5 ^ 2) 7
O sea a = 4 b= 2 c= 2 d=1
Y sale: 8 * 16 + 4 * 36 + 2 * 28 + 9 = 337
Que lo que les sale a dos personas posiblemente con un programa.
Es verdad que con muchos exponentes sale complicado -a mano-. Quizás alguien encuentre una manera de simplificarlo.